Question

【题目】已知函数f（x）= x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0垂直，求a的值；
（2）设f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求证：f（x1）+f（x2）＞﹣5．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=x﹣a+ = ，

∴k=f′（1）=4﹣2a，

∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0垂直，

∴k=﹣ ，

∴4﹣2a=﹣ ，

解得a=

（2）解：由题意，x1，x2为f′（x）=0的两根，

∴ ，

∴2＜a＜3，

又∵x1+x2=a，x1x2=3﹣a，

∴f（x1）+f（x2）= （x12+x22）﹣a（x1+x2）+（3﹣a）lnx1x2，

=f（x）=﹣ a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），

设h（a）=﹣ a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），a∈（2，3），

则h′（a）=﹣a﹣ln（3﹣a），

∴h″（a）=﹣1+ = ＞0，

故h′（a）在（2，3）递增，又h′（2）=﹣2＜0，

当a→3时，h′（a）→+∞，

∴a0∈（2，3），

当a∈（2，a0）时，h（a）递减，当a∈（a0，3）时，h（a）递增，

∴h（a）min=h（a0）=﹣ a02+a0﹣3+（3﹣a0）ln（3﹣a0）＞﹣ a02+a0﹣3+（3﹣a0）（﹣a0）= a02﹣2a0﹣3= （a0﹣2）2﹣5＞﹣5．

∴a∈（2，3），h（a）＞﹣5，

综上，f（x1）+f（x2）＞﹣5

【解析】（1）根据导数的几何意义即可求出a的值，（2）根据x1 ， x2为f′（x）=0的两根，求出a的范围，再根据韦达定理得到f（x1）+f（x2）=﹣ a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），构造函数h（a）=﹣ a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），a∈（2，3），求出函数的最小值大于5即可．