Question

【题目】设抛物线C1：y2=8x的准线与x轴交于点F1 ， 焦点为F2 ． 以F1 ， F2为焦点，离心率为 的椭圆记为C2 ． （Ⅰ）求椭圆C2的方程；
（Ⅱ）设N（0，﹣2），过点P（1，2）作直线l，交椭圆C2于异于N的A、B两点．
（ⅰ）若直线NA、NB的斜率分别为k1、k2 ， 证明：k1+k2为定值．
（ⅱ）以B为圆心，以BF2为半径作⊙B，是否存在定⊙M，使得⊙B与⊙M恒相切？若存在，求出⊙M的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知F1（﹣2，0），F2（2，0）． 令椭圆C2的方程为 ，焦距为2c，（c＞0）
则 ，解之得 ，
所以，椭圆C2的方程为 ．
（Ⅱ）（ⅰ）证明：当直线l斜率不存在时，l：x=1，
由 得 或 ，
不妨取 ，则 ，
此时， ，
所以k1+k2=4．
当直线l斜率存在时，令l：y﹣2=k（x﹣1），
由 得（1+2k2）x2+（8k﹣4k2）x+2k2﹣8k=0，
由△=（8k﹣4k2）2﹣4（1+2k2）（2k2﹣8k）＞0得k＞0，或 ．
令A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则 ， ，
所以， ，
所以， = = ，
=
=
= =2k﹣（2k﹣4）=4，
综上所述，k1+k2=4．
（ⅱ）存在定⊙M，使得⊙B与⊙M恒相切，⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=32，圆心为左焦点F1 ，
由椭圆的定义知 ，
所以， ，
所以两圆相切．
【解析】（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程，根据椭圆的离心率公式及c=2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）（ⅰ）分类，当直线l斜率不存在时，求得A和B点坐标，即可求得k1+k2 ， 当直线l斜率存在时，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k1+k2=4；（ⅱ）定圆⊙M的方程为：（x﹣2）2+y2=32，求得圆心，由抛物线的性质，可求得 两圆相内切．