题目内容
【题目】设抛物线C1:y2=8x的准线与x轴交于点F1 , 焦点为F2 . 以F1 , F2为焦点,离心率为 的椭圆记为C2 . (Ⅰ)求椭圆C2的方程;
(Ⅱ)设N(0,﹣2),过点P(1,2)作直线l,交椭圆C2于异于N的A、B两点.
(ⅰ)若直线NA、NB的斜率分别为k1、k2 , 证明:k1+k2为定值.
(ⅱ)以B为圆心,以BF2为半径作⊙B,是否存在定⊙M,使得⊙B与⊙M恒相切?若存在,求出⊙M的方程,若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)由已知F1(﹣2,0),F2(2,0). 令椭圆C2的方程为 ,焦距为2c,(c>0)
则 ,解之得
,
所以,椭圆C2的方程为 .
(Ⅱ)(ⅰ)证明:当直线l斜率不存在时,l:x=1,
由 得
或
,
不妨取 ,则
,
此时, ,
所以k1+k2=4.
当直线l斜率存在时,令l:y﹣2=k(x﹣1),
由 得(1+2k2)x2+(8k﹣4k2)x+2k2﹣8k=0,
由△=(8k﹣4k2)2﹣4(1+2k2)(2k2﹣8k)>0得k>0,或 .
令A(x1 , y1),B(x2 , y2),则 ,
,
所以, ,
所以, =
=
,
=
=
= =2k﹣(2k﹣4)=4,
综上所述,k1+k2=4.
(ⅱ)存在定⊙M,使得⊙B与⊙M恒相切,⊙M的方程为(x﹣2)2+y2=32,圆心为左焦点F1 ,
由椭圆的定义知 ,
所以, ,
所以两圆相切.
【解析】(Ⅰ)由题意,设椭圆的方程,根据椭圆的离心率公式及c=2,即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;(Ⅱ)(ⅰ)分类,当直线l斜率不存在时,求得A和B点坐标,即可求得k1+k2 , 当直线l斜率存在时,设直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,即可求得k1+k2=4;(ⅱ)定圆⊙M的方程为:(x﹣2)2+y2=32,求得圆心,由抛物线的性质,可求得 两圆相内切.
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