Question

1．设随机变量X与Y相互独立，均服从正态分布N（0，3²）且X₁，X₂，…，X₉与Y₁，Y₂，…，Y₉分别是来自总体X与Y的简单随机样本，则统计量U=$\frac{{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}}{\sqrt{{Y}_{1}^{2}+{Y}_{2}^{2}+…+{Y}_{9}^{2}}}$服从参数为9的t分布．

Answer 1

分析 由正态分布与卡方分布的定义与性质可得$\frac{{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}}{\sqrt{81}}$～N（0，1），$\frac{{{Y}_{1}}^{2}+{{Y}_{2}}^{2}+…+{{Y}_{9}}^{2}}{9}$～χ²（9）．再利用t分布的定义，即可得U=$\frac{{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}}{\sqrt{{Y}_{1}^{2}+{Y}_{2}^{2}+…+{Y}_{9}^{2}}}$～t（9）．

解答 解：由正态分布的性质以及卡方分布的定义可得：
X₁+…+X₉～N（0，9×3²）=N（0，81），
$\frac{{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}}{\sqrt{81}}$～N（0，1），$\frac{{{Y}_{1}}^{2}+{{Y}_{2}}^{2}+…+{{Y}_{9}}^{2}}{9}$～χ²（9）．
从而，由t分布的定义可得，
$\frac{\frac{1}{9}（{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}）}{\sqrt{\frac{1}{9}{（{{Y}_{1}}^{2}+…+{Y}_{9}）}^{2}}•\sqrt{9}}$=$\frac{{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}}{\sqrt{{Y}_{1}^{2}+{Y}_{2}^{2}+…+{Y}_{9}^{2}}}$～t（9），
即：U～t（9），
从而U服从t分布，参数为9．
故答案为：9，t．

点评 本题考查了正态分布、卡方分布以及t分布的定义、性质以及相互之间的关系．题目的难度适中，需要熟练掌握．