Question

【题目】双曲线的方程是－y2＝1.

(1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；

(2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．

Answer 1

【答案】（1）y＝x±5（2）3x－4y－5＝0

【解析】

（1）结合直线l的倾斜角，设出该直线方程，代入双曲线方程，结合弦长公式，计算参数，即可。（2）分别设出交点坐标，结合点P为该2个交点的中点，建立方程，将交点坐标代入双曲线方程，相减，计算直线斜率，计算方程，即可。

(1)设直线l的方程为y＝x＋m，代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，

Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，

∴m2>3.

设直线l与双曲线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，

则x1＋x2＝－m，x1x2＝.

由弦长公式|AB|＝|x1－x2|，得

,

∴＝，即m＝±5，满足m2>3，

∴直线l的方程为y＝x±5.

(2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)、B′(x4，y4)两点，

点P(3,1)为A′B′的中点，则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.

由＝4，＝4，

两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，

∴＝，

∴l′的方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.

把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋＝0，

满足Δ>0，

即所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0.