Question

【题目】已知，其对称轴为，且．

（1）求的解析式；

（2）若对任意及任意，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由二次函数的对称轴可得出的值，再由可求出实数的值，从而可得出函数的解析式；

（2）由题意知，对任意的及任意，不等式恒成立，可得出和均满足不等式，由此可得出不等式组对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，分别求出函数、在区间的最小值，可解出实数的取值范围.

（1）二次函数的对称轴为直线，得，

则，又，；

（2）由题意知，不等式对任意的及任意恒成立，构造函数，

由题意可得对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

对于函数，当时，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以在区间上的最小值为，，得；

由于函数在区间上单调递增，则当时，函数取得最小值，，解得.

综上所述，实数的取值范围是.