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【题目】【选修4-4：坐标系与参数方程】

极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两神坐标系中的长度单位相同．已知曲线的极坐标方程为， ．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线： （为参数）的距离最短，写出点的直角坐标．

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式进行求解；（Ⅱ）消参得到直线的直角坐标方程，确定最优解，利用直线的斜率公式和两条直线垂直进行求解.

试题解析:（Ⅰ）由， ，可得

∴曲线的直角坐标方程为

（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），消去得的普通方程为， 与相离，设点，且点到直线： 的距离最短，

则曲线在点处的切线与直线： 平行，

∴，又

∴（舍）或，∴

∴点的坐标为.

练习册系列答案
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【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的倾斜角；

（2）设点，直线和曲线交于两点，求的值．

【题目】韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民调结果显示，受“闺蜜门”时间影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．

(1)依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数

（2）请依上述支持率完成下表：

年龄分布

是否支持

[30，40）和[40，50）

[50，60）和[60，70）

合计

支持

不支持

合计

根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关？

附表：

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.076

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（参考公式：，其中 参考数据：125×33=15×275，125×97=25×485）

【题目】已知函数在上不具有单调性.

（1）求实数的取值范围；

（2）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立.

【题目】已知等比数列中， ，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【题目】【2018江西莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】二次函数的图象过原点，对，恒有成立，设数列满足．

（I）求证：对，恒有成立；

（II）求函数的表达式；

（III）设数列前项和为，求的值．

【答案】（I）证明见解析；（II）；(III)2018．

【解析】试题分析：

(1)左右两侧做差，结合代数式的性质可证得，即对，恒有：成立；

(2)由已知条件可设，给定特殊值，令，从而可得：，则，，从而有恒成立，据此可知，则.

(3)结合(1)(2)的结论整理计算可得：，据此分组求和有：.

试题解析：

（1）（仅当时，取“=”）

所以恒有：成立；

（2）由已知条件可设，则中，令，

从而可得：，所以，即，

又因为恒成立，即恒成立，

当时，，不合题意舍去，

当时，即，所以，所以.

（3），

所以，

即.

【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数 为定义在上的奇函数.

（1）求函数的值域；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的最小值.

【题目】已知圆与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点.

（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）若在以为圆心半径为的圆上存在点，使得 (为坐标原点)，求的取值范围；

（3）设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.

【题目】函数，其图象与轴交于， 两点，且.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）证明： （为的导函数）.

（Ⅲ）设点在函数图象上，且为等腰直角三角形，记，求的值.

【题目】某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 ，且各阶段通过与否相互独立.

（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；

（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望.

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