题目内容
【题目】已知正三棱锥
，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120.
（1）求三棱柱的高；
（2）求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比.
【答案】（1）10或5（2）
或
【解析】
（1）设正三棱柱的高为
，底面边长为
，根据相似比有
，再根据正三棱柱的侧面积为120，有
，两式联立求解.
（2）根据面积之比等于相似比的平方，结合（1）的结论求解.
（1）设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，如图所示:
则
解得
又因为正三棱柱的侧面积为120.
所以
所以
解得
或
所以三棱柱的高是10或5.
（2）因为面积之比等于相似比的平方，
所以棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比：
或 
.
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