Question

【题目】已知函数f（x）=lnx，其中a＞0.曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的极值和最值.

Answer 1

【答案】（1）f（x）的单调减区间为（0，2），增区间为[2，+∞）；（2）f（x）的极小值为f（2）=ln2，无极大值；最小值ln2，最大值1.

【解析】

（1）先求导,由曲线在点处的切线与直线垂直可得,即可解得,再分别令和,即可求解；

（2）由（1）可知f（x）的极小值为f（2）,无极大值,再将极值与端点值比较求得最值即可.

（1）由题,（x＞0）,

因为曲线在点处的切线与直线垂直,

所以,解得a=2,

所以,

令得0＜x＜2,令得x＞2,

所以f（x）的单调减区间为（0,2）,增区间为[2,+∞）

（2）由（1）可得f（x）在（1,2）上递减,在（2,e）上递增,

故f（x）的极小值为f（2）=ln2,无极大值；

又因为f（1）=1,f（e）,f（2）=ln2,

所以f（x）的最小值为ln2,最大值为1.