题目内容
【题目】已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在
轴上,离心率
,虚轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线与双曲线
相交于
两点,(
均异于左、右顶点),且以
为直径的圆过双曲线
的左顶点
,求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1) (2) 证明见解析,定点坐标为
【解析】试题分析:(1)求双曲线标准方程,一般方法为待定系数法,即根据题意列出两个独立条件: ,解方程组得
(2)以
为直径的圆过双曲线
的左顶点
,等价于
,根据向量数量积得
,结合直线
方程得
,利用直线方程与双曲线方程联立方程组,消y得
,再利用韦达定理代入等式整理得
,因此
或
.逐一代入得当
时,
的方程为
,直线过定点
.
试题解析:(1)设双曲线的标准方程为, 由已知得
又
,解得
,所以双曲线的标准方程为
.
(2)设,联立
,得
,有
,
,以
为直径的圆过双曲线
的左顶点
,
,即
,
,解得
或
.当
时,
的方程为
,直线过定点
,与已知矛盾;当
时,
的方程为
,直线过定点
,经检验符合已知条件, 所以直线
过定点,定点坐标为
.
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练习册系列答案
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【题目】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
性别 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
附:,其中
.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |