题目内容
7.已知点F(c,0),A分别为椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的右焦点和上顶点,点B为直线l:x=$\frac{{a}^{2}}{c}$上一动点,且△ABF的外接圆面积最小值为4π,则当椭圆的短轴最长时,椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.分析 由题意作出图象,当AB⊥l时,可判断r=$\frac{AB}{2}$,且此时AB的长度最短;再由两点之间,线段最短可知AB=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4,从而再由b2=a2-c2=4c-c2=-(c-2)2+4;从而求c与b,再求椭圆的离心率即可.
解答 解:如右图,O为△ABF的外接圆的圆心;
由题意知,A(0,b),F(c,0);
当AB⊥l时,B($\frac{{a}^{2}}{c}$,b);
则$\overrightarrow{AF}$=(c,-b),$\overrightarrow{BF}$=(c-$\frac{{a}^{2}}{c}$,-b);
$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=c(c-$\frac{{a}^{2}}{c}$)+b2=c2+b2-a2=0,
故$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{BF}$;
此时,r=$\frac{AB}{2}$,且此时AB的长度最短;
当AB与l不垂直时,2r>AB;
则r>$\frac{AB}{2}$;
当AB⊥l时,△ABF的外接圆的半径最小;
又∵△ABF的外接圆面积最小值为4π,
∴当AB⊥l时,AB=4;
即$\frac{{a}^{2}}{c}$=4,即a2=4c;
b2=a2-c2=4c-c2=-(c-2)2+4;
故当c=2时,b有最大值2;
此时a=2$\sqrt{2}$;
故椭圆的离心率为$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
故答案为:$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
点评 本题考查了椭圆的性质应用及椭圆中的最值问题的应用,同时考查了利用平面向量判断位置关系的应用,属于中档题.
A. | $\sqrt{5}$ | B. | $\sqrt{6}$ | C. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ |
A. | x+2y-$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$=0 | B. | x-2y+$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$=0 | C. | $\sqrt{3}$x-2y+$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$π=0 | D. | $\sqrt{3}$x+2y-$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$π=0 |