题目内容
【题目】将函数
在区间
内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，数列
的前n项和
，求证：数列为等比数列，并求．
【答案】（1）
；（2）证明见解析，
.
【解析】
（1）先利用三角函数的诱导公式及二倍角公式化简函数
，令
得极值点，判断出全部极值点按从小到大排列构成以
为首项，
为公差的等差数列，用等差数列的通项公式求出通项．
（2）利用
，求出
,作商
，利用等比数列的定义判断出
是以
为首项，
为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出通项，一步求出数列前
项的和．
(1)
令
，即
所以函数
的极值点为.
从而函数在区间
内的全部极值点按从小到大排列构成以以为首项，为公差的等差数列.
所以数列
（2）由可知对任意的正整数，
都不是
的整数倍.
所以
所以数列为等比数列.
所以
.
练习册系列答案
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（1）试估计该河流在8月份水位的众数；
（2）我们知道若该河流8月份的水位小于40米的频率为f，该河流8月份的水位小于40米的情况下发生1级灾害的频率为g，则该河流8月份的水位小于40且发生1级灾害的频率为
，其他情况类似.据此，试分别估计该河流在8月份发生12级灾害及不发生灾害的频率
，
，
；
（3）该河流域某企业，在8月份，若没受12级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元.现此企业有如下三种应对方案:
方案 | 防控等级 | 费用（单位:万元） |
方案一 | 无措施 | 0 |
方案二 | 防控1级灾害 | 40 |
方案三 | 防控2级灾害 | 100 |
试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.
