Question

3．已知椭圆的C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过点D（4，0）与椭圆C交于A、B两点．
①求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）并求取最大值时直线l的方程；
②若E为椭圆C的左顶点，M（1，0），试问∠AMD=∠BME是否一定成立？如果成立请给出证明否则说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据离心率得定义，长轴的定义，以及a，b，c的关系即可求出椭圆得标准方程；
（Ⅱ）①设直线方程为y=k（x-4），根据点到直线的距离公式，以及弦长公式，得到S_△AOB=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$$\sqrt{（1-4{k}^{2}）•4{k}^{2}}$≤$\frac{6}{3+4{k}^{2}}$，再利用基本不等式，求出k得值和面积；
②根据向量的夹角公式，得到（$\frac{{x}_{1}-1}{{x}_{1}-4}$）²=（$\frac{1-{x}_{2}}{{x}_{2}-4}$）²，分类计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，2a=4，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+$$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）①直线l过点D（4，0），设直线l得方程为y=k（x-4），
则原点到直线l得距离d=$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-4k}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消y得，
3x²+4（kx-4k）²=12，
整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{144（1-4{k}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$，
∴|x₁-x₂|=$\frac{12\sqrt{1-4{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
根据弦长公式，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$$\sqrt{（1-4{k}^{2}）•4{k}^{2}}$≤$\frac{6}{3+4{k}^{2}}$，当且仅当4k²=$\frac{1}{2}$，即k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$时取等号，
∴S_△AOB=$\frac{6}{3+\frac{1}{2}}$=$\frac{12}{7}$，
∴y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x-$\sqrt{2}$，或y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+$\sqrt{2}$，
②∵点E（-2，0），M（1，0），
∴$\overrightarrow{MA}$=（x₁-1，y₁）$\overrightarrow{MD}$=（3，0），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-1，y₂），$\overrightarrow{MC}$=（-3，0），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MD}$=3x₁-3，$\overrightarrow{MB}$$•\overrightarrow{MC}$=-3x₂+3，
∴cos∠AMD=$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MD}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MD}|}$=$\frac{{x}_{1}-1}{\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$，
同理cos∠BME=$\frac{1-{x}_{2}}{\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}$，
∴$\frac{{x}_{1}-1}{\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$=$\frac{1-{x}_{2}}{\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}$，
∴（$\frac{{x}_{1}-1}{{y}_{1}}$）²=（$\frac{{1-x}_{2}}{{y}_{2}}$）²，
∴（$\frac{{x}_{1}-1}{k（{x}_{1}-4）}$）²=（$\frac{1-{x}_{2}}{k（{x}_{2}-4）}$）²，
∴$\frac{{x}_{1}-1}{{x}_{1}-4}$=$\frac{1-{x}_{2}}{{x}_{2}-4}$，或$\frac{{x}_{1}-1}{{x}_{1}-4}$=-$\frac{1-{x}_{2}}{{x}_{2}-4}$，此时x₁=x₂，故不成立
整理得x₁+x₂=$\frac{8}{5}$，
即$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，向量的夹角公式，基本不等式，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行求解，运算量大，属于难题．