题目内容

12.如图,正三棱锥A-BCD中,E、F分别为BD、AD的中点,且EF⊥CF,底面边长为2,则点B到平面ACD的距离为(  )
A.1B.$\sqrt{3}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\sqrt{2}$

分析 设点A在面BCD内的射影为A′,由三棱锥A-BCD为正三棱锥,易得A′为△BCD中心,由线面垂直的判定定理可得AB⊥面ACD,即∠ADB为直线BD与平面ACD所成角,解三角形ADB可得直线BD与平面ACD所成的角,即可求出点B到平面ACD的距离.

解答 解:设点A在面BCD内的射影为A′,
∵三棱锥A-BCD为正三棱锥,
∴AB=AD,
△BCD为正三角形,A′为△BCD中心,
∴CD⊥BA′,
∵AA′⊥面BCD,
∴CD⊥AB,
∵E、F分别为BD、AD的中点,∴EF∥AB,
∵EF⊥CF,∴AB⊥CF,
又∵AB⊥CD,CD∩CF=C,
∴AB⊥面ACD,
∴AB⊥AD.
∴∠ADB即为直线BD与平面ACD所成角,
又∵AB=AD,AB⊥AD,
∴∠ADB=45°,
∴直线BD与平面ACD所成角为45°,
∵BD=2,
∴点B到平面ACD的距离为2sin45°=$\sqrt{2}$.
故选:D.

点评 本题考查点B到平面ACD的距离,考查直线与平面所成的角,其中求出∠ADB为直线BD与平面ACD所成角是解答的关键.

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