Question

18．设函数f（x）=log₂（2^x+1），则不等式2f（x）≤f^-1（log₂5）的解为（-∞，0]．

Answer 1

分析 先根据函数的定义域求出x的范围，然后代入解析式，解对数不等式，转化成指数不等式进行求解，即可求出x的取值范围

解答 解：f^-1（x）=log₂（2^x-1），x∈（0，+∞）．
由2f（x）≤f^-1（log₂5），
2log₂（2^x+1）≤log₂（${2}^{lo{g}_{2}5}$-1）=log₂4，
∴log₂（2^x+1）≤1
∴0＜2^x+1≤2，∴0＜2^x≤1，⇒x≤0；
综上，x≤0；
故答案为：（-∞，0]．

点评 本题主要考查了反函数的求解，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查转化与划归的思想，计算能力，属于中档题