Question

8．如图所示，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与直线AB：y=$\frac{1}{2}$x+1相切于点A．
（1）求a，b满足的关系式，并用a，b表示点A的坐标；
（2）设F是椭圆的右焦点，若△AFB是以F为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析 （1）直线方程与椭圆方程联立化为（a²+4b²）x²+4a²x+4a²-4a²b²=0，由于直线与椭圆相切，可得△=0，即可解出切点A；
（2）设AF的斜率为k，由∠BAF=45°，利用“到角公式”可得$\frac{\frac{1}{2}-k}{1+\frac{1}{2}k}$=tan45°，解得k．再利用斜率计算公式可得$\frac{1-\frac{{a}^{2}}{4}}{-\frac{{a}^{2}}{2}-c}$=-$\frac{1}{3}$，由BF⊥AF，可得k_BF=-$\frac{1}{k}$．得到直线BF的方程，两条直线方程联立可得B．利用|AF|=|BF|可得方程，联立解得：a²，c，再利用b²=a²-c²即可得出．

解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为（a²+4b²）x²+4a²x+4a²-4a²b²=0，（*）
∵直线与椭圆相切，
∴△=16a⁴-4（a²+4b²）（4a²-4a²b²）=0，
化为a²+4b²=4．
∴2x_A=$\frac{-4{a}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$=$\frac{-4{a}^{2}}{4}$=-a²，
解得x_A=-$\frac{{a}^{2}}{2}$，∴y_A=$1-\frac{{a}^{2}}{4}$=b²．
∴A（-$\frac{{a}^{2}}{2}$，b²）．
（2）设AF的斜率为k，
由∠BAF=45°，∴$\frac{\frac{1}{2}-k}{1+\frac{1}{2}k}$=tan45°=1，解得k=$-\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1-\frac{{a}^{2}}{4}}{-\frac{{a}^{2}}{2}-c}$=-$\frac{1}{3}$，化为$1-\frac{{a}^{2}}{4}$=$\frac{1}{3}（\frac{{a}^{2}}{2}+c）$．（*）
∵BF⊥AF，
∴k_BF=-$\frac{1}{k}$=3．
∴直线BF的方程为：y=3（x-c），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=3（x-c）}\end{array}\right.$，
解得B$（\frac{2+6c}{5}，\frac{6+3c}{5}）$．
∵|AF|=|BF|，
∴$\sqrt{（-\frac{{a}^{2}}{2}-c）^{2}+（1-\frac{{a}^{2}}{4}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2+6c}{5}-c）^{2}+（\frac{6+3c}{5}）^{2}}$，
化为$\frac{1}{3}（\frac{{a}^{2}}{2}+c）=\frac{2+c}{5}$，
与（*）联立解得：a²=$\frac{8}{5}$，c=1，
∴b²=$\frac{3}{5}$．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{5{x}^{2}}{8}+\frac{5{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立可得△=0、等腰直角三角形的性质、“到角公式”、相互垂直的直线斜率之间的公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．