Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于点，将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.

（1）求曲线的参数方程；

（2）求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（为参数）；（2）.

【解析】

（1）根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程；

（2）将曲线的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点的极坐标为，点的极坐标为，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程，得出和关于的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出面积的最大值．

（1）由于曲线的参数方程为（为参数），

将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，

则曲线的参数方程为（为参数）；

（2）将曲线的参数方程化为普通方程得，

化为极坐标方程得，即，

设点的极坐标为，点的极坐标为，

将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，，

的面积为，

当时，的面积取到最大值.