Question

4．已知$\sqrt{{a}^{2}-4a+4}$=2-a，函数f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}}$-3^x，x∈R．
（1）求f（a）的取值范围；
（2）若f（e^a-m）+f（e^a-1）≥0恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知的等式求出a的范围，然后利用换元法求得3^a的范围，再结合函数的单调性求得答案；
（2）由函数f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}}$-3^x的奇偶性和单调性把f（e^a-m）+f（e^a-1）≥0转化为m≥2e^a-1（a≤2），则答案可求．

解答 解：由$\sqrt{{a}^{2}-4a+4}$=2-a，得$\sqrt{（a-2）^{2}}=2-a$，∴a≤2．
（1）令t=3^a，
∵a≤2，∴0＜t≤9．
则g（t）=f（a）=$\frac{1}{{3}^{a}}-{3}^{a}=\frac{1}{t}-t$（0＜t≤9），
∵g（t）在（0，9]上为减函数，
∴g（t）∈[-$\frac{80}{9}，+∞$），即f（a）的取值范围是[-$\frac{80}{9}，+∞$）；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}}$-3^x的定义域为（-∞，+∞），
且f（-x）=${3}^{x}-\frac{1}{{3}^{x}}=-（\frac{1}{{3}^{x}}-{3}^{x}）=-f（x）$，
∴f（x）为定义域内的奇函数，且为减函数，
∴f（e^a-m）+f（e^a-1）≥0恒成立，即f（e^a-m）≥-f（e^a-1）=f（1-e^a）恒成立，
∴e^a-m≤1-e^a恒成立，
即m≥2e^a-1（a≤2）恒成立．
∴m≥2e²-1．
故m的最小值为2e²-1．

点评 本题考查函数的性质，考查了恒成立问题，解答此题的关键是掌握是的单调性，是中档题．