Question

19．对于任意x＞0的实数，不等式4x+$\frac{1}{x}$＞m²-1恒成立，则m的取值范围是（$-\sqrt{5}，\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 利用基本不等式求得4x+$\frac{1}{x}$的最小值，结合4x+$\frac{1}{x}$＞m²-1恒成立转化为关于m的不等式得答案．

解答 解：∵x＞0，4x$+\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{4x•\frac{1}{x}}=4$，
当且仅当4x=$\frac{1}{x}$，即x=$\frac{1}{2}$时上式等号成立，
由4x+$\frac{1}{x}$＞m²-1恒成立，得m²-1＜4，
∴m²＜5，即$-\sqrt{5}＜m＜\sqrt{5}$．
故答案为：（$-\sqrt{5}，\sqrt{5}$）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了利用基本不等式刘函数最值，是基础题．