Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=1+

2

，S3=9+3

2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式与前n项和S_n；
（2）设bn=an-

2

(n∈N*)，{b_n}中的部分项bk1，bk2，…bkn恰好组成等比数列，且k₁=1，k₄=63，求该等比数列的公比与数列{k_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则由条件求出d=2，从而求出数列{a_n}的通项公式与前n项和S_n的值．
（2）由b_n=an-

2

=2n-1，结合条件可得公比 q满足 q3=

b63

b1

=125，即q=5．再由bkn=2kn-1且bkn=5n-1，求出数列{k_n}的通项公式．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则由题意可得3（1+

2

）+

3×2

2

×d=9+3

2

，
解得d=2，故 a_n =1+

2

+（n-1）2=2n-1+

2

，
故S_n=n（1+

2

）+

n(n-1)

2

×2=n2+

2

n．
（2）由b_n=an-

2

=2n-1，bk1，bk2，…bkn恰好组成等比数列，且k₁=1，k₄=63，
可得公比q满足 q3=

b63

b1

=125，即q=5．
再由bkn=2kn-1且bkn=5n-1，可得 2k_n-1=5^n-1，
从而可得 kn=

1

2

(5n-1+1)．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．