题目内容
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=6,S5=50,数列{bn}的前n项和Tn满足Tn+
bn=1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求证:数列{bn}为等比数列;
(Ⅲ)记cn=
an•bn,数列{cn}的前n项和为Rn,若Rn<λ对n∈N*恒成立,求λ的最小值.
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(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求证:数列{bn}为等比数列;
(Ⅲ)记cn=
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分析:(I)利用等差数列的求和公式,结合a2=6,S5=50,求出首项与公差,可得数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)利用递推式,再写一式,两式相减,可证明数列{bn}为等比数列;
(Ⅲ)确定数列的通项,利用错位相减法求和,即可求λ的最小值.
(Ⅱ)利用递推式,再写一式,两式相减,可证明数列{bn}为等比数列;
(Ⅲ)确定数列的通项,利用错位相减法求和,即可求λ的最小值.
解答:(Ⅰ)解:由S5=
=5a3=50得a3=10,
又a2=6,所以d=4,a1=2,所以an=2+4(n-1),所以an=4n-2…(3分)
(Ⅱ)证明:由Tn+
bn=1①,
令n=1,得b1=
,
当n≥2时Tn-1+
bn-1=1②
①-②得Tn-Tn-1+
(bn-bn-1)=0,整理得bn=
bn-1(n≥2)
故{bn}是以b1=
为首项,
为公比的等比数列.…(8分)
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知bn=2(
)n,故cn=
(4n-2)×2(
)n=
所以Rn=
+
+
+…+
,两边同乘以
得
Rn=
+
+…+
+
两式相减得
Rn=
+
+
+…+
-
=
+
-
=
-
-
所以Rn=1-
-
=1-
<1恒成立,故λ≥1,所以λ的最小值为1.…(14分)
5(a1+a5) |
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又a2=6,所以d=4,a1=2,所以an=2+4(n-1),所以an=4n-2…(3分)
(Ⅱ)证明:由Tn+
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令n=1,得b1=
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3 |
当n≥2时Tn-1+
1 |
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①-②得Tn-Tn-1+
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3 |
故{bn}是以b1=
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3 |
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知bn=2(
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3 |
1 |
4 |
1 |
3 |
2n-1 |
3n |
所以Rn=
1 |
3 |
3 |
32 |
5 |
33 |
2n-1 |
3n |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
32 |
3 |
33 |
2n-3 |
3n |
2n-1 |
3n+1 |
两式相减得
2 |
3 |
1 |
3 |
2 |
32 |
2 |
33 |
2 |
3n |
2n-1 |
3n+1 |
1 |
3 |
| ||||
1-
|
2n-1 |
3n+1 |
2 |
3 |
1 |
3n |
2n-1 |
3n+1 |
所以Rn=1-
3 |
2•3n |
2n-1 |
2•3n |
n+1 |
3n |
点评:本题考查等差数列与等比数列的综合,考查数列的通项与求和,考查恒成立问题,确定数列的通项是关键.
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