题目内容

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=6,S5=50,数列{bn}的前n项和Tn满足Tn+
1
2
bn=1

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求证:数列{bn}为等比数列;
(Ⅲ)记cn=
1
4
anbn
,数列{cn}的前n项和为Rn,若Rn<λ对n∈N*恒成立,求λ的最小值.
分析:(I)利用等差数列的求和公式,结合a2=6,S5=50,求出首项与公差,可得数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)利用递推式,再写一式,两式相减,可证明数列{bn}为等比数列;
(Ⅲ)确定数列的通项,利用错位相减法求和,即可求λ的最小值.
解答:(Ⅰ)解:由S5=
5(a1+a5)
2
=5a3=50
得a3=10,
又a2=6,所以d=4,a1=2,所以an=2+4(n-1),所以an=4n-2…(3分)
(Ⅱ)证明:由Tn+
1
2
bn=1
①,
令n=1,得b1=
2
3

当n≥2时Tn-1+
1
2
bn-1=1

①-②得Tn-Tn-1+
1
2
(bn-bn-1)=0
,整理得bn=
1
3
bn-1(n≥2)

故{bn}是以b1=
2
3
为首项,
1
3
为公比的等比数列.…(8分)
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知bn=2(
1
3
)n
,故cn=
1
4
(4n-2)×2(
1
3
)n=
2n-1
3n

所以Rn=
1
3
+
3
32
+
5
33
+…+
2n-1
3n
,两边同乘以
1
3
1
3
Rn=
1
32
+
3
33
+…+
2n-3
3n
+
2n-1
3n+1

两式相减得
2
3
Rn=
1
3
+
2
32
+
2
33
+…+
2
3n
-
2n-1
3n+1
=
1
3
+
2
32
(1-
1
3n-1
)
1-
1
3
-
2n-1
3n+1
=
2
3
-
1
3n
-
2n-1
3n+1

所以Rn=1-
3
2•3n
-
2n-1
2•3n
=1-
n+1
3n
<1
恒成立,故λ≥1,所以λ的最小值为1.…(14分)
点评:本题考查等差数列与等比数列的综合,考查数列的通项与求和,考查恒成立问题,确定数列的通项是关键.
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