题目内容
【题目】如图,在多面体中,梯形
与平行四边形
所在平面互相垂直,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)判断线段上是否存在点
,使得平面
平面
?若存在,求 出
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)根据线线平行得线面平行平面
,
平面
,再根据线面平行得面面平行平面
平面
,最后由面面平行性质得结论,(Ⅱ)先根据面面垂直得线面垂直
平面
,再得线线垂直
,类似可得
进而建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解得平面
法向量,利用向量数量积得两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系得结果,(Ⅲ)先设
,再利用方程组解得平面
法向量,最后根据两法向量数量积为零解得结果.
(Ⅰ)由底面为平行四边形,知
,
又因为平面
,
平面
, 所以
平面
.
同理平面
,又因为
,所以平面
平面
.
又因为平面
,所以
平面
(Ⅱ)连接,因为平面
平面
,平面
平面
,
,
所以平面
. 则
.
又因为,
,
, 所以
平面
,则
.
故两两垂直,所以以
所在的直线分别为
轴、
轴和
轴,如图建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
, 所以
,
,
为平面
的一个法向量.
设平面的一个法向量为
,
由,
,得
令
,得
.
所以.
如图可得二面角为锐角, 所以二面角
的余弦值为
.
(Ⅲ)结论:线段上存在点
,使得平面
平面
.
证明如下:设,所以
. 设平面
的法向量为
,又因为
,所以
,
,即
令
,得
.
若平面平面
,则
,即
, 解得
.
所以线段上存在点
,使得平面
平面
,且此时
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】团体购买公园门票,票价如下表:
购票人数 | 1~50 | 51~100 | 100以上 |
门票价格 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园,这两个部门人数分别为a和b,若按部门作为团体,选择两个不同的时间分别购票游览公园,则共需支付门票费为1290元;若两个部门合在一起作为一个团体,同一时间购票游览公园,则需支付门票费为990元,那么这两个部门的人数
____;
____.