Question

8．已知定义域为R的函数f（x）满足：（1）当x∈（0，1]时，f（x）=x²；（2）f（x+1）=2f（x）．则$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，（1）当x∈（0，1]时，f（x）=x²，$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}}{{2}^{x}}$；（2）当x∈（n，n+1]，（n∈N^*）时，$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{n}（x-n）^{2}}{{2}^{x}}$=$\frac{（x-n）^{2}}{{2}^{x-n}}$，从而可判断$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$是周期为1的函数，再利用导数求最值即可．

解答 解：（1）当x∈（0，1]时，f（x）=x²，$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}}{{2}^{x}}$；
（2）当x∈（n，n+1]，（n∈N^*）时，
f（x）=2f（x-1）=2²f（x-2）
=2ⁿf（x-n）=2ⁿ•（x-n）²；
故$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{n}（x-n）^{2}}{{2}^{x}}$=$\frac{（x-n）^{2}}{{2}^{x-n}}$；
故$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$是周期为1的函数，
故只需讨论x∈（0，1]时的最大值即可；
当x∈（0，1]时，令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{{2}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{2x•{2}^{x}-ln2•{2}^{x}•{x}^{2}}{（{2}^{x}）^{2}}$=x•$\frac{2-xln2}{{2}^{x}}$＞0；
故g（x）=$\frac{{x}^{2}}{{2}^{x}}$在（0，1]上是增函数；
故g_max（x）=g（1）=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．