题目内容

2.若函数f(x)=x(x-c)2在x=1处有极小值,则常数c的值为1.

分析 求导数可得f′(x)=(x-c)(3x-c),令其为0,分类讨论可得函数取极小值的情形,比较已知可得c的方程,解之可得.

解答 解:展开可得f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,
求导数可得f′(x)=3x2-4cx+c2=(x-c)(3x-c)
令f′(x)=(x-c)(3x-c)=0可得x=c,或x=$\frac{c}{3}$,
当c=0时,函数无极值,不合题意,
当c>0时,可得函数在(-∞,$\frac{c}{3}$)单调递增,在($\frac{c}{3}$,c)单调递减,在(c,+∞)单调递增,
故函数在x=c处取到极小值,故c=1,符合题意;
当c<0时,可得函数在(-∞,c)单调递增,在(c,$\frac{c}{3}$)单调递减,在($\frac{c}{3}$,+∞)单调递增,
故函数在x=$\frac{c}{3}$处取到极小值,故c=3,矛盾,
故答案为:1.

点评 本题考查利用导数研究函数的极值,涉及分类讨论的思想,属中档题.

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