题目内容

20．已知两个命题r：sinx+cosx＞m，s：x2+mx+1＞0．如果任意的x∈R，r与s有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．

分析 若命题p是真命题：则?x∈R，m＜$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），可得m＜-$\sqrt{2}$．若命题q是真命题：则?x∈R，△＜0，解得m．如果对?x∈R，p和q中有且仅有一个是真命题．即可得出．

解答 解：若命题p是真命题：则?x∈R，m＜$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），可得m＜-$\sqrt{2}$，
若命题q是真命题：则?x∈R，x2+mx+1＞0．△=m2-4＜0，解得-2＜m＜2．
如果对?x∈R，p和q中有且仅有一个是真命题．
∴$\left\{\begin{array}{l}m＜-\sqrt{2}\\ m≤-2，或m≥2\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}m≥-\sqrt{2}\\-2＜m＜2\end{array}\right.$，
解得m≤-2或-$\sqrt{2}$≤m＜2．
则实数m的取值范围是m≤-2或-$\sqrt{2}$≤m＜2．

点评 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、三角函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，难度中档．

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①函数f（x）=2x2-x-4的不动点是-1和2；
②若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2．（a≠0）恒有两个不相同的不动点，则实数a的取值范围是  0＜a≤2；
③函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若y=f（x）没有不动点，则函数y=f（f（x））也没有不动点；
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以上说法正确的是①③④．
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④若命题p：向量$\overrightarrow{a}$=（1，-2）与向量$\overrightarrow{b}$=（1，m）的夹角为锐角为真命题，则实数m的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）．
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（2）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）≥0对任意x∈[2，+∞）恒成立，求a的取值范围．
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