题目内容

11．设函数y=f（x）的定义域为D，若存在实数x0，使f（x0）=x0成立．则称x0为f（x）的不动点或称（x0．f（x））为函数y=f（x）图象的不动点；有下列说法：
①函数f（x）=2x2-x-4的不动点是-1和2；
②若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2．（a≠0）恒有两个不相同的不动点，则实数a的取值范围是  0＜a≤2；
③函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若y=f（x）没有不动点，则函数y=f（f（x））也没有不动点；
④设函数f（x）=$\frac{4}{5}$（x-1），若f（f（f（x）））为正整数，则x的最小值是121；
以上说法正确的是①③④．

分析 根据已知中函数不动点的定义，逐一分析四个结论的真假，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：令2x2-x-4=x，解得x=-1，或x=2，故①函数f（x）=2x2-x-4的不动点是-1和2，故①正确；
若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2．（a≠0）恒有两个不相同的不动点，
则ax2+（b+1）x+b-2=x有两个不相等的实根，则△=b2-4a（b-2）=b2-4ab+8a＞0恒成立，
则16a2-32a＜0，解得0＜a＜2，即实数a的取值范围是0＜a＜2，故②错误；
③函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若y=f（x）没有不动点，则ax2+（b-1）x+c=0无实根，则函数y=f（f（x））也没有不动点；
④设函数f（x）=$\frac{4}{5}$（x-1），若f（f（f（x）））=$\frac{4}{5}${$\frac{4}{5}$[$\frac{4}{5}$（x-1）-1]-1}=$\frac{64x-244}{125}$为正整数，
则x的最小值是121，故④正确；
故正确的命题的序号为：①③④，
故答案为：①③④

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．

练习册系列答案
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6．以下四个命题中：
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②若命题“?x0∈R，使得x02+ax0+1≤0成立”为真命题，则a的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）；
③设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$），且其图象关于直线x=0对称，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数；
④已知p：x≥k，q：$\frac{3}{x+1}$＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（2，+∞）．
其中真命题的个数为（　　）
A．1B．2C．3D．4
16．以下三个命题：
①函数y=2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$），在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域为[1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2]
②函数f（x）=$\frac{2co{s}^{3}x-2co{s}^{2}x-cosx+1}{cosx-1}$的周期为π
③函数f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）的图象和函数g（x）=2-2cos3x的图象关于点（$\frac{π}{8}$，1）对称
其中正确的是①③．
3．已知圆C1：（x-2cosθ）2+（y-2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：
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②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；
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其中正确命题的序号为②③．
20．已知两个命题r：sinx+cosx＞m，s：x2+mx+1＞0．如果任意的x∈R，r与s有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．
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