Question

18．已知等比数列{a_n}的前项和为S_n=$\frac{a}{2^n}$+b，且a₁=1
（1）求a，b的值及数列{a_n}的通项公式；（2）设b_n=$\frac{n}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b+$\frac{1}{2}$a=1，a+b=0，再由等比数列的通项公式，即可得到；
（2）求出b_n=$\frac{n}{a_n}$=n•2^n-1，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）由S_n=$\frac{a}{2^n}$+b，且a₁=1，
可得b+$\frac{1}{2}$a=1，a+b=0，
解得a=-2，b=2，
即有a_n=a₁q^n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（2）b_n=$\frac{n}{a_n}$=n•2^n-1，
即有前n项和T_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1，①
2T_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，②
①-②，得：-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查错位相减法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．