Question

6．已知直线y=kx+2与抛物线C：x²=2py（p＞0）交于A，B两点，若当k=1时，$|AB|=4\sqrt{6}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过A，B两点分别作抛物线C的切线，若两条切线交于点M，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）当k=1时，直线y=x+2，代入抛物线C：x²=2py得：x²-2px-4p=0，结合弦长公式，求出p值，可得答案．
（2）联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理表示x₁+x₂与x₁x₂，利用导数法结合直线的点斜式方程，求出直线AM与BM的方程，求出交点M的坐标，可得答案．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
当k=1时，直线y=x+2，代入抛物线C：x²=2py得：x²-2px-4p=0，
由弦长公式可得：
则$|AB|=4\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{4{p}^{2}+16p}$，
解得：p=2，或p=-6（舍去），
故抛物线C的方程为：x²=4y；
（2）将y=kx+2代入抛物线C：x²=4y得：x²-4kx-8=0，
由韦达定理得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
由x²=4y得：y=$\frac{1}{4}$x²，则y′=$\frac{1}{2}$x，
故直线AM的方程为：y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
直线BM的方程为：y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
两式相减得：x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2k，
两式相加得：2y=$\frac{1}{2}$×2k（x₁+x₂）-$\frac{1}{4}$（x₁²+x₂²）=4k²-$\frac{1}{4}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=-4，
故y=-2，
故M点的坐标为（2k，-2），
即点M的轨迹方程为y=-2

点评 本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．