Question

10．已知p：关于x的方程x²+mx+1=0有两个不相等的负实根；q：关于x的不等式4x²+4（m-2）x+1＞0的解集为R．若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p为真命题，可得$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得m．若命题q为真命题，可得△＜0，解得m．若p或q为真命题、p且q为假命题，可得p与q必然一真一假，解出即可．

解答 解：命题p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的负实根，∴$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞2．
命题q：不等式4x²+4（m-2）x+1＞0的解集为R，∴△=16（m-2）²-16＜0，解得1＜m＜3．
p∨q为真命题、p∧q为假命题，
∴p，q一真一假；
①若p真且q假，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$，解得m≥3；
②若p假且q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，解得1＜m≤2；
综上可知实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．