题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,求函数
在区间
上的最小值;
(3)某同学发现:总存在正实数,
,使
,试问:该同学的判断是否正确?若不正确,请说明理由;若正确,请直接写出
的取值范围(不需要解答过程).
【答案】(1)单调增区间为,
;(2)
时,
;若
时,
.(3)正确,
的取值范围为
.
【解析】
(1)先确定函数定义域,再利用导数,可求函数的单调区间;
(2)根据在
上单调递增,在
上单调递减,结合函数定义域分类讨论可求出函数
在区间
上的最小值;
(3)的取值范围为
,根据
在
上单调递增,在
上单调递减,结合函数图象即可求得.
解(1)定义域,
,
令,则
,
当时,
,所以
单调增区间为
;
当时,
,所以
的单调增区间为
;
(2)由(1)知在
上单调递增,在
上单调递减,所以
当时,即
时,
在
上单调递增,
所以.
当时,即
时,
在
上单调递增,
在
上单调递减,所以
,由于
,
若时,
;
若时,
.
当时,即
时,
在
上单调递减,
所以,
综上得:若时,
;
若时,
;
(3)正确,的取值范围为
.
注:理由如下,考虑几何意义,当时,
,
由于在
上单调递增,在
上单调递减,
所以的图象大致如下图所示,
所以总存在正实数,
且
,使得
,即
,即
.
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