Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．满足2acosC+ccosA=b．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinAcosB+sinB的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及2acosC+ccosA=b．
得2sinAcosC+sinCcosA=sinB
在△ABC中，A+B+C=π，
∴A+C=π﹣B，即sin（A+C）=sinB．
∴2sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB
∴sinAcosC=0
又∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴sinA＞0．
∴cosC=0
∴C=
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C=，
∴A+B=，即B=-A．
∵sinAcosB+sinB=cos2B+sinB=﹣sin2B+sinB+1=﹣
∵0，
∴当sinB=，即B=时，sinAcosB+sinB取得最大值．
【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得2sinAcosC+sinCcosA=sinB，结合三角形的内角和定理及两角和的三角公式可求C
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C= ， B=-A，代入sinAcosB+sinB，利用同角平方关系及二次函数的性质可求最大值