题目内容
【题目】如图,在底面为矩形的四棱锥中,平面
平面
.
(1)证明:;
(2)若,
,设
为
中点,求直线
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)由平面平面
可得
面
,从而可得
;
(2)建立空间直角坐标系,求出向量及面
法向量
,代入公式即可得到结果.
(1)依题意,面面
,
,
∵面
,面
面
,
∴面
.
又面
,
∴.
(2)解法一:向量法
在中,取
中点
,∵
,
∴,∴
面
,
以为坐标原点,分别以
为
轴,过点
且平行于
的直线为
轴,
所在的直线为
轴,建立如图空间直角坐标系,
设,∵
,∴
,
∴,
,
,
,
,
∴,
,
.
设面法向量为
,
则,解得
.
设直线与平面
所成角为
,
则,
因为,∴
.
所以直线与平面
所成角的余弦值为
.
(2)解法二:几何法
过作
交于点
,则
为
中点,
过作
的平行线,过
作
的平行线,交点为
,连结
,
过作
交于点
,连结
,
连结,取中点
,连结
,
,
四边形为矩形,所以
面
,所以
,
又,所以
面
,
所以为线
与面
所成的角.
令,则
,
,
,
由同一个三角形面积相等可得,
为直角三角形,由勾股定理可得
,
所以,
又因为为锐角,所以
,
所以直线与平面
所成角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天,这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图
x | 100 | 150 | 200 | 300 | 450 |
t | 90 | 65 | 45 | 30 | 20 |
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深人调查,记为“入住率超过0.6的农家乐的个数,求
的概率分布列
(2)z=lnx,由散点图判断与
哪个更合适于此模型(给出判断即可不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程(a,
的结果精确到0.1)
(3)根据第(2)问所求的回归方程,试估计收费标准为多少时,100天销售额L最大?(100天销售额L=100×入住率×收费标准x)
参考数据,
,