题目内容
【题目】已知函数,
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)设函数,若
,且
在
上恒成立,求
的取值范围;
(3)设函数,若
,且
在
上存在零点,求
的取值范围.
【答案】(1)函数的单调减区间为
,单调增区间为
(2)
(3)
【解析】
(1)由得
,对其求导,用导函数方法判断其单调性即可;
(2)由得
,当
时,根据二次函数的性质,即可求出结果;当
,由分离参数的方法得到
恒成立,设
,用导数的方法求出其最小值,即可得出结果;
(3)根据题中条件,将在
上存在零点,转化为
在
上有解,设
,用导数的方法判断
,进而得到
,再令
,对其求导,用导数的方法研究其单调性,得出最小值,即可求出结果.
【解】(1)当时,
,所以
.
令,得
.
因为函数g(x)的定义域为,
当时,
;当
时,
,
所以函数g(x)的单调减区间为(0,2),单调增区间为.
(2)因为,所以
当时,由
恒成立,
则有当,即
时,
恒成立;
当,即
时,
,
所以.
综上,.
当时,由
恒成立,即
恒成立.
设,则
.
令,得
,
且当时,
;当
时,
,
所以,所以
.
综上所述,b的取值范围是.
(3).
因为u(x)在上存在零点,所以
在
上有解,
即在
上有解.
又因为,即
,
所以在
上有解.
设,则
,
令,得
,且当
时,
;当
时,
,所以
,即
,所以
,
因此.
设,则
,
同理可证:,所以
,
于是在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,故
.
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