题目内容
(本小题满分16分)

如图,在平面直角坐标系
中,已知点
为椭圆
的右顶点, 点
,点
在椭
圆上,
.

(1)求直线
的方程;
(2)求直线
被过
三点的圆
截得的弦长;
(3)是否存在分别以
为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.

如图,在平面直角坐标系





圆上,


(1)求直线

(2)求直线



(3)是否存在分别以

(1)
;(2)
;
(3)存在这样的两个圆,且方程分别为
,
。


(3)存在这样的两个圆,且方程分别为


(1)根据
,B、P关于y轴对称,可求得
,再求出BD的斜率,写出点斜式方程,再化成一般式即可.
(2)先求出BP的垂直平分线方程,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到此平分线的距离,再利用弦长公式
求出弦长即可.
(3)解本小题的关系是先假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,从而分析出点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线
上,当圆
和圆
是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN.到此就有了明晰的解题思路.
(1)因为
,且A(3,0),所以
=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,从而得
……………………3分
所以直线BD的方程为
…………………………5分
(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为
,
所以圆C的圆心为(0,-1),且圆C的半径为
………………………8分
又圆心(0,-1)到直线BD的距离为
,所以直线
被圆
截得的弦长
为
……………………………10分
(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线
上,当圆
和圆
是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN…………………………………12分
设
,则
,根据
在直线
上,
解得
………………………14分
所以
,故存在这样的两个圆,且方程分别为
,
……………………………16分


(2)先求出BP的垂直平分线方程,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到此平分线的距离,再利用弦长公式

(3)解本小题的关系是先假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,从而分析出点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线



(1)因为



所以直线BD的方程为

(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为

所以圆C的圆心为(0,-1),且圆C的半径为

又圆心(0,-1)到直线BD的距离为



为

(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线



设




解得

所以




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