Question

直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点.
（Ⅰ）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长；
（Ⅱ）当点在上且不是的顶点时，证明：四边形不可能为菱形.

Answer 1

利用椭圆的对称性，结合图形完成第(I)小题.设出直线方程，把直线方程和椭圆方程联立，设而不求，结合菱形的特点进行判断.

(I) 椭圆W：的右顶点，因为四边形OABC为菱形，所以和互相垂直平分.
所以可设，代入椭圆方程得，解得.
所以菱形OABC的面积为.
(II)假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=kx+m,k≠0,m≠0..
由消去y并整理得.
设,则，，
所以AC的中点.
因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.
因为，所以AC和OB不垂直.
所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.
所以当B不是W的顶点，四边形OABC不可能是菱形.
【考点定位】本题考查了椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系.通过整体代换，设而不求，考查了数据处理能力和整体思想的应用.