Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4.

(I)求椭圆C的标准方程；
(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为.
①求四边形APBQ面积的最大值；
②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断+的值是否为常数，并说明理由．

Answer 1

（1）
（2）故当，的值为常数0.

试题分析：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为 .      1分
由已知b= 离心率 ,得
所以，椭圆C的方程为.    4分
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为 ，，则， 5分
设AB(),直线AB的方程为，代人
得：.
由△>0,解得，由根与系数的关系得        7分
四边形APBQ的面积
故当  …②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率
则   10分
=
=，由①知
可得
所以的值为常数0.      13分
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。