题目内容
【题目】(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,平面,,,,,,,是的中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1) 解法1
证明:∵平面,平面,
∴,
又,平面,
∴平面. …………2分
过作交于,则平面.
∵平面,
∴. …………4分
∵,∴四边形平行四边形,
∴,
∴,又,
∴四边形为正方形,
∴, ……………6分
又平面,平面,
∴⊥平面. ………………………7分
∵平面,
∴. ………………………8分
(2)∵平面,平面
∴平面⊥平面
由(1)可知
∴⊥平面
∵平面
∴……………………9分
取的中点,连结,
∵四边形是正方形,
∴
∵平面,平面
∴⊥平面
∴⊥Z|X|X|K]
∴是二面角的平面角, ………………………12分
由计算得
∴………………………13分
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………………………14分
解法2
∵平面,平面,平面,
∴,,
又,
∴两两垂直. ……………………2分
以点E为坐标原点,分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得,(0,0,2),(2,0,0),
(2,4,0),(0,3,0),(0,2,2),
(2,2,0). …………………………4分
∴,,………6分
∴, ………7分
∴. …………………………8分
(2)由已知得是平面的法向量. ………………………9分
设平面的法向量为,
∵,
∴,即,令,得. ……………12分
设平面与平面所成锐二面角的大小为,
则…………………………13分
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为. …………………………14分
【解析】
(1)证明EB,EF,EA两两垂直,以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量,证明
,可得BD⊥EG;
(2)由已知得是平面DEF的法向量,求出平面DEG的法向量
,利用向量的夹角公式,可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值.
(Ⅰ),,,
,.又,
BE,EF,AE两两垂直.
以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,
由已知得,,,,,,,
,.
,.
(Ⅱ)由已知得是平面DEF的法向量,
设平面的DEG法向量为,
,,
即令,得,
设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ,
则.
平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为.
【题目】“互联网”是“智慧城市”的重要内士,市在智慧城市的建设中,为方便市民使用互联网,在主城区覆盖了免费.为了解免费在市的使用情况,调査机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调査的网友中抽取了人进行抽样分析,得到如下列联表(单位:人):
经常使用免费WiFi | 偶尔或不用免费WiFi | 合计 | |
45岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
45岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,判断是否有的把握认为市使用免费的情况与年龄有关;
(2)将频率视为概率,现从该市岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取人,共抽取次.记被抽取的人中“偶尔或不用免费”的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,数学期望和方差.
附:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |