题目内容
【题目】已知函数(
),其中
为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)已知,
为整数,若对任意
,都有
恒成立,求
的最大值.
【答案】(1)见解析(2)2
【解析】试题分析:(1)先求导数,再根据m范围确定导函数零点,根据导函数符号确定单调性,(2)先分离得,再利用导数研究函数
单调性(隐零点),根据单调性求最小值,根据极值条件化简最小值,最后根据最小值范围确定k范围,进而确定
的最大值.
试题解析:解:(1)由题意得,函数的定义域为
,
.
若,则
,所以函数
在区间
上单调递减;
若,则当
时,
,当
时,
,
所以在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
(2)当时,对任意
,都与
恒成立,等价于
对任意的
恒成立,
令,则
,
由(1)知,当时,
在区间
上单调递减.
因为,
,
所以在区间
上存在唯一零点,
∴在区间
上也存在唯一零点,
设此零点为,则
.
因为当时,
,
当时,
,
所以在区间
上的最小值为
,
所以.
又因为
,
所以,
所以.
又因为为整数,且
,
所以的最大值是2.
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