Question

4．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x-1）＞f（5-x），求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把点（4，2）代入g（x）的解析式求出a，再根据条件求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）和对数函数的单调性、真数大于零列出不等式组，求出解集即可．

解答 解：（Ⅰ）∵g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（4，2），
∴log_a4=2，a=2，则g（x）=log₂x．…（2分）
∵函数y=f（x）的图象与g（X）的图象关于x轴对称，
∴$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}x$．…（5分）
（Ⅱ）∵f（x-1）＞f（5-x），
∴${log_{\frac{1}{2}}}（{x-1′}）＞{log_{\frac{1}{2}}}（{5-x}）$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{5-x＞0}\\{x-1＜5-x}\end{array}}\right.$，解得1＜x＜3，
所以x的取值范围为（1，3）…（12分）

点评 本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．