题目内容

设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2,以F1,F2为焦点,离心率为
1
2
的椭圆C2与抛物线C1的一个交点为P.
(1)若椭圆的长半轴长为2,求抛物线方程;
(2)在(1)的条件下,直线l经过椭圆C2的右焦点F2,与抛物线C1交于A1,A2两点,如果|A1A2|等于△PF1F2的周长,求l的斜率;
(3)是否存在实数m,使得△PF1F2的边长是连续的自然数?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.
(1)∵椭圆C2的离心率为
1
2
,长半轴长为2,∴
3

∵物线C1:y2=4mx(m>0)的焦点为椭圆右焦点,∴
p
2
=1,∴抛物线方程y2=4x
(2)由(1)可知,椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1
,所以△PF1F2的周长为2a+2c=6.
①当直线l斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
∴x1+x2=2+
4
k2
,x1x2=1,
∴|A1A2|=
1+k2
|x1-x2|
=
4
k4
+
8
k2
-5=0,解得,k=±
2

②当直线l斜率不存在时,A1点坐标为(1,
3
2
)A2(1,-
3
2
),∴|A1A2|=2
3
≠6,不成立.
综上,直线l的斜率为±
2

(3)由题意可知,椭圆中c=m.椭圆C2离心率为
1
2
,∴a=2c.
∴椭圆方程为
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
由,
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
y2=4mx
得P点横坐标为
2
3
m
,在椭圆中,|PF1|+|PF2|=2a=4m,
|F1F2|=2m,∴|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列,
假设存在实数m,使得△PF1F2的边长是连续的自然数,则PF2|=|F1F2|-1=2m-1,又因为P在抛物线上,
∴|F1F2|=
2
3
m
+m,∴m=3
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