题目内容
已知抛物线C:y2=12x,点M(-1,0),过M的直线l交抛物线C于A,B两点.
(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标等于2,求直线l的斜率;
(Ⅱ)设点A关于x轴的对称点为A′,求证:直线A′B过定点.
(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标等于2,求直线l的斜率;
(Ⅱ)设点A关于x轴的对称点为A′,求证:直线A′B过定点.
(Ⅰ)设过点M(-1,0)的直线方程为y=k(x+1),
由
得k2x2+(2k2-12)x+k2=0.…(2分)
因为k2≠0,且△=(2k2-12)2-4k4=144-48k2>0,
所以,k∈(-
,0)∪(0,
).…(3分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=1.…(5分)
因为线段AB中点的横坐标等于2,所以
=
=2,…(6分)
解得k=±
,符合题意.…(7分)
(Ⅱ)证明:依题意A'(x1,-y1),直线A′B:y-y2=
(x-x2),…(8分)
又
=12x1,
=12x2,
所以y=
(x-x2)+y2,…(9分)=
x-
…(10分)
因为
=144x1x2=144,且y1,y2同号,所以
=12,…(11分)
所以y=
(x-1),…(12分)
所以,直线A'B恒过定点(1,0).…(13分)
由
|
因为k2≠0,且△=(2k2-12)2-4k4=144-48k2>0,
所以,k∈(-
3 |
3 |
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
12-2k2 |
k2 |
因为线段AB中点的横坐标等于2,所以
x1+x2 |
2 |
6-k2 |
k2 |
解得k=±
2 |
(Ⅱ)证明:依题意A'(x1,-y1),直线A′B:y-y2=
y2+y1 |
x2-x1 |
又
y | 21 |
y | 22 |
所以y=
12 |
y2-y1 |
12 |
y2-y1 |
y1y2 |
y2-y1 |
因为
y | 21 |
y | 22 |
y | 1 |
y | 2 |
所以y=
12 |
y2-y1 |
所以,直线A'B恒过定点(1,0).…(13分)
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