题目内容

已知抛物线C:y2=12x,点M(-1,0),过M的直线l交抛物线C于A,B两点.
(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标等于2,求直线l的斜率;
(Ⅱ)设点A关于x轴的对称点为A′,求证:直线A′B过定点.
(Ⅰ)设过点M(-1,0)的直线方程为y=k(x+1),
y=k(x+1)
y2=12x
得k2x2+(2k2-12)x+k2=0.…(2分)
因为k2≠0,且△=(2k2-12)2-4k4=144-48k2>0,
所以,k∈(-
3
,0)∪(0,
3
)
.…(3分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
12-2k2
k2
,x1x2=1.…(5分)
因为线段AB中点的横坐标等于2,所以
x1+x2
2
=
6-k2
k2
=2
,…(6分)
解得k=±
2
,符合题意.…(7分)
(Ⅱ)证明:依题意A'(x1,-y1),直线A′B:y-y2=
y2+y1
x2-x1
(x-x2)
,…(8分)
y21
=12x1
y22
=12x2

所以y=
12
y2-y1
(x-x2)+y2
,…(9分)=
12
y2-y1
x-
y1y2
y2-y1
…(10分)
因为
y21
y22
=144x1x2=144
,且y1,y2同号,所以
y1
y2
=12
,…(11分)
所以y=
12
y2-y1
(x-1)
,…(12分)
所以,直线A'B恒过定点(1,0).…(13分)
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