题目内容
【题目】已知圆 ,点,以线段为直径的圆内切于圆,记点的轨迹为.
(1)求曲线的方程;
(2)直线交圆于,两点,当为的中点时,求直线的方程.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
试题本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的标准方程和几何性质等基础知识,意在考查考生的分析问题解决问题的能力、读图能力、运算求解能力. 第一问,设AB的中点为M,切点为N,连OM,MN,先利用半径长得出|OM|+|MN|=2,再利用中位线转化边,得|AB|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4,得到椭圆的定义,从而得到a,b,c的值,写出椭圆的方程;第二问,利用OB⊥CD,利用向量垂直的充要条件,得到坐标关系,再结合椭圆方程,可解出,从而得到直线AB的斜率,得到直线AB的方程.
试题解析:(Ⅰ)设AB的中点为M,切点为N,连OM,MN,则
|OM|+|MN|=|ON|=2,取A关于y轴的对称点A,
连AB,故|AB|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4.
所以点B的轨迹是以A,A为焦点,长轴长为4的椭圆.
其中,a=2,,b=1,则
曲线Γ的方程为. 5分
(Ⅱ)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,
则.设B(x0,y0),
则. 7分
又解得,.
则kOB=,kAB= , 10分
则直线AB的方程为,即
或. 12分
【题目】我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表:
空气污染指数 | 空气质量 | 空气污染指数 | 空气质量 | |
0--50 | 优 | 201--250 | 中度污染 | |
51--100 | 良 | 251--300 | 中度重污染 | |
101--150 | 轻微污染 | >300 | 重污染 | |
151----200 | 轻度污染 |
我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天,101--200时称作B类天,大于200时称作C类天.下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本,其茎叶图如下:(百位为茎,十.个位为叶)
(1)从这18天中任取3天,求至少含2个A类天的概率;
(2)从这18天中任取3天,记X是达到A类或B类天的天数,求X的分布列及数学期望.