题目内容
【题目】已知椭圆:
,点
是椭圆
内且在
轴上的一个动点,过点
的直线与椭圆
交于
,
两点(
在第一象限),且
.
(Ⅰ)若点为椭圆
的下顶点,求点
的坐标;
(Ⅱ)当(
为坐标原点)的面积最大时,求点
的坐标.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意知
的纵坐标,代入椭圆的方程,解得
得到
点坐标,从而直线
的方程,求得
点的坐标;
(Ⅱ)设直线的方程为
,联立方程组,求得
,从而
,列出
的表达式,利用基本不等式,即可求解
的值,得到点
的坐标.
试题解析:
(Ⅰ)由题易知,由
知
的纵坐标为
,
代入椭圆的方程得
,解得
(负值舍去),即此时
.
从而直线的方程为
,令
,得
,即此时
.
(Ⅱ)设,
,由
,知
.
易知直线与
轴不垂直且斜率不为0,设直线
的方程为
,联立
,
消去可得
,∴
,
.
∵,∴
,
,
∴,从而
.
∴
.
∵在第一象限,∴
,∴
.
∵,∴
.
∴
,当且仅当
时取等号,此时
.
即此时.
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