题目内容

【题目】已知椭圆,点是椭圆内且在轴上的一个动点,过点的直线与椭圆交于两点(在第一象限),且.

(Ⅰ)若点为椭圆的下顶点,求点的坐标;

(Ⅱ)当为坐标原点)的面积最大时,求点的坐标.

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).

【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意的纵坐标,代入椭圆的方程,解得得到点坐标,从而直线的方程,求得点的坐标;

(Ⅱ)设直线的方程为,联立方程组,求得,从而,列出的表达式,利用基本不等式,即可求解的值,得到点的坐标.

试题解析:

(Ⅰ)由题易知,由的纵坐标为

代入椭圆的方程得,解得(负值舍去),即此时.

从而直线的方程为,令,得,即此时.

(Ⅱ)设,由,知.

易知直线轴不垂直且斜率不为0,设直线的方程为,联立

消去可得 ,∴.

,∴

,从而.

.

在第一象限,∴ ,∴.

,∴.

,当且仅当时取等号,此时.

即此时.

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