Question

【题目】如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．

（1）证明：AC⊥B1D；
（2）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥BB1，

又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线

∴AC⊥平面BB1D，

∵B1D平面BB1D，∴AC⊥B1D；

（2）解：∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，

由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成

的角（记为θ），连接A1D，

∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，

∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1

又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D

∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，

由（1）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，

∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB

因此， ，可得AB= =

连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，

∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=

在Rt△AB1D中，cos∠ADB1= = = ，

即cos（90°﹣θ）=sinθ= ，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为 ．

【解析】（1）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1 ， 结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（2）根据题意得AD∥B1C1 ， 可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1 ， 从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB= ，最后在Rt△AB1D中算出B1D= ，可得cos∠ADB1= ，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．