题目内容
【题目】已知离心率为的椭圆
的左顶点为A,且椭圆E经过
与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C,D两点,且直线AC和直线AD的斜率之积为
.
(I)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)求证:直线l过定点.
【答案】(I);(II)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据离心率,可得的关系,代入解析式,代入
的坐标,即可求得
,进而得椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设出直线的方程
,将直线方程与椭圆方程联立,根据有两个不同的交点可知
,利用韦达定理表示出
,由直线AC和直线AD的斜率之积为
可得关于
和
的方程,即可求得
和
的关系,代入直线方程即可求得所过定点的坐标;也可将方程设为
,将直线方程与椭圆方程联立,根据有两个不同的交点可知
,利用韦达定理表示出
,由直线AC和直线AD的斜率之积为
可得关于
和
的方程,化简求得
的值,即可求得所过定点的坐标.
(I)
又椭圆E经过点
椭圆E的标准方程为
(II)方法一:的方程为
,
设,
联立方程组,
化简得,
由解得
,
且.
,
,
化简可得:
或
(舍),满足
直线l的方程为
,
直线l经过定点
方法二:设l的方程为,
设,
联立方程组,
化简得,
解得:
,
且
,
,
化简可得:
或者
(舍)满足
直线l经过定点
.
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