题目内容
【题目】已知函数的图象在点处的切线为,若函数满足(其中为函数的定义域,当时,恒成立,则称为函数的“转折点”,已知函数在区间上存在一个“转折点”,则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据已知函数,求出切线方程,构造函数,求导,根据导数判断单调性,找出其转折点,并讨论的取值范围。
由题可得,则在点处的切线的斜率,,
所以函数的图象在点处的切线方程为:,
即切线,
令,
则,且
,且,
,
(1)当时,,则在区间上单调递增,所以当,,当,,则在区间上单调递减,,在上单调递增,
所以当时,,不满足题意,舍去,
(2)当时, (),则在区间上单调递增,所以当,,当,,则在区间上单调递减,,在上单调递增,,所以当时,,不满足题意,舍去,
(3)当,(),则在区间上单调递增,取,则,所以在区间上单调递增,,当时,恒成立,故为函数在区间上的一个“转折点”,满足题意。
(4)当,令,解得:,且,则在区间上单调递减,在上单调递增,取,故在上恒成立,则在区间上单调递增,当时,,则当,,则,所以为函数在区间上的一个“转折点”,满足题意。
(5)当,(),则在区间上单调递减,取,则,所以在区间上单调递减,,当时,恒成立,故为函数在区间上的一个“转折点”,满足题意。
(6)当时, (),则在区间上单调递减,所以当,,当,,则在区间上单调递增,,在上单调递减,
所以当时,,不满足题意,舍去,
综述所述:实数的取值范围为,
故答案选B
【题目】我们知道,地球上的水资源有限,爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理,节约水资源,计划确定一个家庭年用水量的标准.为此,对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查,获得了个家庭某年的用水量(单位:立方米),统计结果如下表及图所示.
分组 | 频数 | 频率 |
25 | ||
0.19 | ||
50 | ||
0.23 | ||
0.18 | ||
5 |
(1)分别求出,的值;
(2)若以各组区间中点值代表该组的取值,试估计全市家庭年均用水量;
(3)从样本中年用水量在(单位:立方米)的5个家庭中任选3个,作进一步的跟踪研究,求年用水量最多的家庭被选中的概率(5个家庭的年用水量都不相等).
【题目】某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎,但该种水果只能在9月份销售,且该种水果只能当天食用口感最好,隔天食用口感较差。某超市每年9月份都销售该特产水果,每天计划进货量相同,进货成本每公斤8元,销售价每公斤12元;当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂,但每公斤只能卖到5元。根据往年销售经验,每天需求量与当地气温范围有一定关系。如果气温不低于30度,需求量为5000公斤;如果气温位于,需求量为3500公斤;如果气温低于25度,需求量为2000公斤;为了制定今年9月份订购计划,统计了前三年9月份的气温范围数据,得下面的频数分布表
气温范围 | |||||
天数 | 4 | 14 | 36 | 21 | 15 |
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.
(1)求今年9月份这种水果一天需求量(单位:公斤)的分布列和数学期望;
(2)设9月份一天销售特产水果的利润为(单位:元),当9月份这种水果一天的进货量为(单位:公斤)为多少时,的数学期望达到最大值,最大值为多少?
【题目】海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 | A | B | C |
数量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.