题目内容

【题目】已知函数的图象在点处的切线为,若函数满足(其中为函数的定义域,当时,恒成立,则称为函数的“转折点”,已知函数在区间上存在一个“转折点”,则的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

根据已知函数,求出切线方程,构造函数,求导,根据导数判断单调性,找出其转折点,并讨论的取值范围。

由题可得,则在点处的切线的斜率

所以函数的图象在点处的切线方程为:

即切线

,且

,且

1)当时,,则在区间上单调递增,所以当,当,则在区间上单调递减,,在上单调递增,

所以当时,,不满足题意,舍去,

2)当时, ),则在区间上单调递增,所以当,当,则在区间上单调递减,,在上单调递增,,所以当时,,不满足题意,舍去,

(3)当),则在区间上单调递增,取,则,所以在区间上单调递增,,当时,恒成立,故为函数在区间上的一个“转折点”,满足题意。

4)当,令,解得:,且,在区间上单调递减,在上单调递增,取,故上恒成立,则在区间上单调递增,当时,,则,则,所以为函数在区间上的一个“转折点”,满足题意。

(5)当),则在区间上单调递减,取,则,所以在区间上单调递减,,当时,恒成立,故为函数在区间上的一个“转折点”,满足题意。

6)当时, ),则在区间上单调递减,所以当,当,则在区间上单调递增,,在上单调递减,

所以当时,,不满足题意,舍去,

综述所述:实数的取值范围为

故答案选B

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