题目内容
【题目】长方形中,
,
是
中点(图1).将
沿
折起,使得
(图2)在图2中:
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存点
,使得二面角
的余弦值为
,说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在,理由见解析
【解析】
(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明平面
即可.
(2) 以为坐标原点,
为
轴,
为
轴,过
作平面
的垂线为
轴,建立空间直角坐标系. 设
,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.
(1)在长方形中,连结
,因为
,
是
中点,
所以,从而
,
所以
因为,
,
所以平面
.
因为平面
,
所以平面平面
.
(2)因为平面平面
,交线是
,
所以在面过
垂直于
的直线必然垂直平面
.
以为坐标原点,
为
轴,
为
轴,过
作平面
的垂线为
轴,
建立空间直角坐标系.
则,
,
,
.设
,则
.
设是平面
的法向量,
则,即
,取
,
平取面的一个法向量是
.
依题意,
即,解方程得
,
因此在线段上存点
,使得二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】工厂抽取了在一段时间内生产的一批产品,测量一项质量指标值,绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)计算该样本的平均值,方差
;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)若质量指标值在之内为一等品.
(i)用样本估计总体,问该工厂一天生产的产品是否有以上为一等品?
(ii)某天早上、下午分别抽检了50件产品,完成下面的表格,并根据已有数据,判断是否有的把握认为一等品率与生产时间有关?
一等品个数 | 非一等品个数 | 总计 | |
早上 | 36 | 50 | |
下午 | 26 | 50 | |
总计 |
附:.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参考数据:.
【题目】随着手机的发展,“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.
年龄 (单位:岁) |
|
|
|
|
|
|
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(Ⅰ)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面列联表,并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关;
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(Ⅱ)若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样,抽取5人进行追踪调查,在5人中抽取3人做专访,求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
.