题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点．

⑴求椭圆的标准方程；

⑵当直线的斜率为时，求的面积；

⑶试比较与大小．

【答案】⑴⑵⑶见解析

【解析】试题分析：（1）利用离心率、左顶点坐标求解即可；（2）根据直线过原点且斜率为写出直线方程，联立直线和椭圆方程，求出，再写出直线的方程，求出点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解；（3）设直线的方程为， ，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、弦长公式及椭圆的对称性进行求解.

试题解析：⑴因为左顶点为，所以

因为椭圆的离心率为，所以，解得

又因为，所以

故所求椭圆的标准方程为

⑵因为直线过原点，且斜率为

所以直线的方程为

代入椭圆方程解得

因为，所以直线的方程为

从而有

故的面积等于

⑶方法一：

设直线的方程为，

代入椭圆方程得

设，则有，解得

从而

由椭圆对称性可得

所以

于是

故

从而

所以

因为点在第二象限，所以，于是有

方法二：

设点，则点

因为，所以直线的方程为

所以

从而

从而有

练习册系列答案
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