题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p , -p);
②求p的取值范围.
【答案】
(1)
解: ,
与
轴的交点坐标为
即抛物线的焦点为 ,
(2)
解:① 设点 ,
则: ,即
,
又 关于直线
对称,
即 ,
又 中点一定在直线
上
线段
上的中点坐标为
;
② 中点坐标为
即
,即关于
有两个不等根
,
,
【解析】(1)求出抛物线的焦点坐标,然后求解抛物线方程.(2):①设点P(x1 , y1),Q(x2 , y2),通过抛物线方程,求解kPQ , 通过P,Q关于直线l对称,点的kPQ=﹣1,推出 ,PQ的中点在直线l上,推出
=2﹣p,即可证明线段PQ的中点坐标为(2﹣p,﹣p);②利用线段PQ中点坐标(2﹣p,﹣p).推出
,得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0,有两个不相等的实数根,列出不等式即可求出p的范围.
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