Question

13．已知直线y=k（x-2）（k＞0）与抛物线y²=8x相交于点A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k的值为（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先过A，B两点分别作准线的垂线，再过B作AC的垂线，垂足分别为C，D，E，在直角三角形ABE中，求得cos∠BAE，进而可求直线AB的斜率．

解答 解：∵直线y=k（x-2）（k＞0）恒过定点（2，0）
即为抛物线y²=8x的焦点F，
过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，
再过B作AC的垂线，垂足为E，
设|BF|=m，
∵|FA|=2|FB|，
∴|AF|=2m
∴AC=AF=2m，|BD|=|BF|=m
如图，在直角三角形ABE中，
AE=AC-BD=2m-m=m，AB=3m，
∴cos∠BAE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴直线AB的斜率为：k=tan∠BAE=2$\sqrt{2}$，
故选C．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质、共线向量及解三角形的知识，解答本题的关键是利用抛物线的定义作出直角三角形ABE，从而求得直线的斜率，体现了数形结合起来的思想．