题目内容
已知实数函数(为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的单调区间及最小值;
(Ⅱ)若≥对任意的恒成立,求实数的值;
(Ⅲ)证明:
(Ⅰ)单调递减区间为,单调递增区间为,;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析
解析试题分析:(Ⅰ)利用导数分析函数的单调性,由得出函数单调递减区间为,单调递增区间为,从而;(Ⅱ)先由(Ⅰ)中时的单调性可知,即,构造函数,由导函数分析可得在上增,在上递减,则,由对任意的恒成立,故,得;(Ⅲ)先由(Ⅱ),即,由于,从 而由放缩和裂项求和可得:
.
试题解析:(I)当,
由, 得单调增区间为;
由,得单调减区间为 , 2分
由上可知 4分
(II)若对恒成立,即,
由(I)知问题可转化为对恒成立 . 6分
令 , ,
在上单调递增,在上单调递减,
∴.
即 , ∴ . 8分
由图象与轴有唯一公共点,知所求的值为1. 9分
(III)证明:由(II)知, 则在上恒成立.
又, 11分
12分
.14分
考点:1.利用导数数求函数的单调性;2.利用导数处理不等式的恒成立问题;3.放缩法证明不等式
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