题目内容

已知实数函数为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的单调区间及最小值;
(Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数的值;
(Ⅲ)证明:

(Ⅰ)单调递减区间为,单调递增区间为;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析

解析试题分析:(Ⅰ)利用导数分析函数的单调性,由得出函数单调递减区间为,单调递增区间为,从而;(Ⅱ)先由(Ⅰ)中时的单调性可知,即,构造函数,由导函数分析可得上增,在上递减,则,由对任意的恒成立,故,得;(Ⅲ)先由(Ⅱ),即,由于,从 而由放缩和裂项求和可得:
 .
试题解析:(I)当
, 得单调增区间为
,得单调减区间为 ,                       2分
由上可知                           4分
(II)若恒成立,即
由(I)知问题可转化为恒成立 .       6分
 ,  
上单调递增,在上单调递减,

 , ∴ .                   8分
图象与轴有唯一公共点,知所求的值为1.   9分
(III)证明:由(II)知,  则上恒成立.
,                      11分

                        12分
.14分
考点:1.利用导数数求函数的单调性;2.利用导数处理不等式的恒成立问题;3.放缩法证明不等式

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